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3年前 (2022-06-15)
矩阵向量的运算
一个有序序列(a1, a2，…， an)的实数称为有序n元组。 同题参见有两种常用的方法来表示R中的n元组，用行：
或者用列：
这两种情况都被称为向量组。
我们设矩阵A，使得：
是个m×n 阶矩阵, 是以列的形式列出 a1, a2, . . . , an. （每个ai是一个m个有序数） 对照阅读
如果x是n维向量：
那么A和向量组x的乘积为：
若线性方程组的常数项为b （是向量组）, 则方程组可写成为： 延伸阅读
引理：如x, y都是n维向量，则A(x+y) = Ax+Ay.
定理：假设x1是线性方程组Ax =b的任意特解，且对应的齐次方程组Ax =0的解，那么对于Ax =b每个的解是这样的：
证明：假设也是Ax = b的一个解，则Ax = b，写入 = −。
然后x2 = x0 +x1利用上面的引理。我们计算Ax0 = A(x2−x1) = Ax2−Ax1 = b−b = 0
因此x0是相关齐次方程组AX = 0的解。
为了更好的理解线性方程组AX=B的解是一个特解加上齐次方程的一般解，我们做一道例题。
例题：求方程组的解，
解：利用高斯行消元法将增广矩阵化简，有：
所以用参数s,t表示解：
x1 = 4+2s−t,
x2 = 2+s+2t,
x3 = s,
x4 = t
因此线性方程组的形式可以写成：
上面的的特解是当s=0, t=0的时候有：
而齐次方程AX=O的解是：（解法参见齐次方程组的基解）
通过例题再次验证了非齐次方程
的通解= 对应的齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解。